LOGIKA MATEMATIKA
KATA PENGANTAR
Melatih berpikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan
aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide atau
gagasan adalah tujuan umum pembelajaran matematika di sekolah. Konsep
Logika Matematika adalah salah satu kompetensi yang mencerminkannya.
Modul pembelajaran ini dirancang untuk mengarahkan bagaimana siswa belajar
menguasai kompetensi Menerapkan Konsep Logika Matematika secara mandiri,
tanpa mengesampingkan kerjasama dalam bekerja kelompok. Keberhasilan
pembelajaran ditandai dengan adanya perubahan perilaku positif pada diri siswa
sesuai dengan standar kompetensi dan tujuan pendidikan. Informasi tentang
Konsep Logika Matematika disajikan secara garis besar tetapi konseptual. Untuk
pendalaman, dan perluasan materi, serta pembentukan kompetensi kunci,
dianjurkan siswa dapat memperoleh melalui observasi di lapangan, studi
referensi, diskusi, dan tutorial dengan guru.
Strategi penyajian modul dirancang agar belajar siswa tidak terfokus hanya
mempelajari satu sumber saja, tapi siswa didorong untuk melakukan eksplorasi
terhadap sumber-sumber belajar lain yang relevan. Melalui pendekatan ini,
diharapkan kompetensi dasar dan kompetensi kunci seperti kemampuan
komunikasi, kerjasama dalam tim, penguasaan teknologi informasi, pemecahan
masalah dan pengambilan keputusan dapat terbentuk pada diri siswa.
Cianjur, Januari 2006
Penyusun
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ....................................................................... i
DAFTAR ISI .................................................................................... ii
PETA KEDUDUKAN MODUL ......................................................... iii
GLOSARIUM ............................................................................. 1 iv
MODUL 6: LOGIKA MATEMATIKA
BAB I PENDAHULUAN
BAB II PEMELAJARAN
RENCANA BELAJAR SISWA ........................................................ 7
KEGIATAN BELAJAR .................................................................... 8
KEGIATAN BELAJAR 1 ........................................................... 8
KEGIATAN BELAJAR 2 ........................................................... 16
KEGIATAN BELAJAR 3 ........................................................... 22
KEGIATAN BELAJAR 4 ........................................................... 29
BAB III EVALUASI
EVALUASI KOMPETENSI ............................................................. 36
KUNCI EVALUASI ......................................................................... 37
BAB IV PENUTUP .......................................................................... 38
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ 39
PETA MODUL MATEMATIKA
BIDANG KEAHLIAN : Rekayasa Perangkat Lunak
KELOMPOK PROGRAM KEAHLIAN : Teknik 1
MATA DIKLAT : Matematika
Kode Kompetensi Sub Kompetensi Judul Modul Keterangan
A Menerapkan
konsep operasi bilangan real Menerapkan operasi pada bilangan real Menerapkan operasi pada bilangan berpangkat Menerapkan operasi pada bilangan irasional (bentuk akar) Menggunakan konsep logaritma Operasi Bilangan Real
Modul 1
B Menerapkan
konsep aproksimasi Menerapkan konsep kesalahan pengukuran Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran
Aproksimasi
Modul 2
C Mengaplikasika
n konsep
persamaan dan
pertidaksamaan
1. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear
2. Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
3. Menyelesaikan sistem persamaan Persamaan dan Pertidaksamaan
Modul 3
D Menerapkan
konsep matriks
1. Mendeskripsikan macam-macam matriks
2. Menyelesaikan operasi matriks
3. Menentukan determinan dan inversMatriks
Modul 4
E Menerapkankonsep programlinear
1. Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear
2. Menentukan model matematika dari soal ceritera (kalimat verbal)
3. Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linear, model matematika
4. Menerapkan garis selidik Program Linear Modul 5
F Menerapkan konsep logika matematika
1. Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka)
2. Mendeskripsi kan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya
3. Mendeskripsi kan invers, konvers dan kontraposisi
1. Menerapkan modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan Logika Matematika
Modul 6
G Menerapkan trigonometri
1. menentukan dan menggunakan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut
2. mengkonversi koordinat kartesius dan kutub
3. menggunakan aturan sinus dan kosinus
4. menentukan luas suatu segi tiga
5. menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut
6. menyelesaikan persamaan trigonometri Trigonometri
Modul 7
H Mengaplikasika
n konsep fungsi
1. Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi
2. Menerapkan konsep fungsi linear
3. Menerapkan konsep fungsi kuadrat
4. Menerapkan konsep fungsi eksponen
5. Menerapkan konsep fungsi logaritma
6. Menerapkan konsep fungsi trigonometriRelasi danFungsi
Modul 8
I Mengaplikasika n konsep barisan dan deret
1. Mengidentifikasi pola bilangan bilangan dan deret
2. Menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika
3. Menerapkan konsep barisan dan deret geometri Barisan dan Deret
Modul 9
J Menerapkan konsep
geometri dimensi dua
1. Mengidentifikasi sudut
2. Menentukan keliling dan luas daerah bidangdatar
3. menerapkan transformasi bangun datar Geometri Dimensi Dua
Modul 10
K Menerapkan konsep geometri dimensi tiga
1. Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya
2. Menghitung luas permukaan
3. Menerapkan konsep volum bangun ruang
4. menentukan hubungan antar unsur-unsur dalam bangun ruangGeometriDimensi Tiga
Modul 11
L Menerapkan konsep vektor
1. menerapkan konsep vektor pada bidang datar
2. menerapkan konsep vektor pada bangun ruang Vektor
Modul 12
M Menerapkan
konsep teori
peluang
1. Mendeskripsikan
kaidah
pencacahan,
permutasi dan
kombinasi
2. Menghitung
peluang suatu
kejadian
Peluang Modul 13
N Mengaplikasika
n konsep
statistika
1. Mengidentifikasi
pengertian
statistik, statistika,
populasi dan
sampel
2. Menyajikan data
dalam bentuk tabel
dan diagram
3. Menentukan
ukuran pemusatan
data
4. Menentukan
ukuran penyebaran
data
Statistika Modul 13
O Menerapkan
konsep irisan
kerucut
1. menerapkan
konsep lingkaran
2. menerapkan
konsep parabola
3. menerapkan
konsep elips
4. menerapkan
konsep hiperbola
Irisan Kerucut Modul 14
BAB IPENDAHULUAN
A. Deskripsi
Modul siswa tentang Penerapan Konsep Logika Matematika ini terdiri terdiri 4
bagian proses pemelajaran yang meliputi 4 sub kompetensi, yaitu :
1. Pernyataan dan bukan Pernyataan. Kegiatan belajar 1 membahas pengertian
pernyatan dan bukan pernyataan. Sebelumnya diterangkan singkat
menegenai apa itu logika matematika.
2. Konjungsi, disjungsi, implikasi , biimplikasi dan negasi atau ingkarannya.
Pada kegiatan belajar 2 di bahas mengenai konjungsi, disjungsi, implikasi ,
biimplikasi dan negasinya. Sebelumnya dibahas terlebih dahulu negasi
sebuah pernyataan secara umum.
3. Konvers , invers dan kontraposisi dari implikasi yang terdiri dari 1 kegiatan
belajar. Kegiatan belajar 6 membahas tentang invers ,konvers dan
kontraposisi dari implikasi.
4. Penarikan kesimpulan ,yang terdiri dari 1 kegiatan belajar. Kegiatan belajar 7
membahas tentang modus ponen, modus tollen dan silogisme.
5. Evaluasi untuk kompetensi Penerapan Konsep Logika Matematika di
alokasikan waktu 2 jam pelajaran.
Setelah mempelajari modul ini , kompetensi yang di harapkan adalah siswa
dapat menerapkan konsep Logika Matematika dalam memecahkan
permasalahan yang berhubungan dengan penggunaan Konsep Logika
Matematika.
Pendekatan yang digunakan dalam modul ini adalah pendekatan siswa aktif
melalui metode: pemberian tugas, diskusi memecahkan masalah dan presentasi.
Guru merancang pemelajaran yang memberikan kesempatan seluas-luasnya
pada siswa untuk berperan aktif dalam membangun konsep secara mandiri
maupun bersama-sama.
B. Prasyarat
Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari modul ini adalah siswa
telah mempelajari dan menguasai modul tentang Bilangan Real, Persamaan dan
pertidaksamaan.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Penjelasan Bagi Siswa
a. Bacalah modul ini secara berurutan dari Kata Pengantar sampai Cek
Kemampuan, pahami benar isi dari setiap babnya.
b. Setelah anda mengisi Cek Kemampuan, apakah anda termasuk kategori
orang yang perlu mempelajari modul ini? Apabila anda menjawab YA, maka
pelajari modul ini.
c. Laksanakan semua tugas-tugas yang ada dalam modul ini agar kompetensi
anda berkembang sesuai standar.
d. Buatlah rencana belajar anda dengan menggunakan format seperti yang ada
dalam modul, konsultasikan dengan guru dan institusi pasangan penjamin
mutu, hingga mendapat persetujuan.
e. Lakukan kegiatan belajar untuk mendapatkan kompetensi sesuai rencana
kegiatan belajar yang telah anda susun dan disetujui oleh guru dan institusi
pasangan penjamin mutu.
f. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, anda harus mulai dari menguasai
pengetahuan pendukung (Uraian Materi), melaksanakan tugas-tugas,
mengerjakan lembar latihan.
g. Dalam mengerjakan Lembar Latihan, anda jangan melihat Kunci Jawaban
terlebih dahulu sebelum anda menyelesaikan Lembar Latihan.
h. Laksanakan Lembar Kerja untuk pembentukan keterampilan psikomotorik
sampai anda benar-benar terampil sesuai standar. Apabila anda mengalami
kesulitan dalam melaksanakan tugas ini, konsultasikan dengan guru anda.
2. Peran Guru
a. Membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.
b. Membimbing siswa melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan dalam
tahap belajar.
c. Membantu siswa dalam memahami konsep dan praktek baru dan menjawab
pertanyaan siswa mengenai proses belajar siswa.
d. Membantu siswa dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain
yang diperlukan untuk belajar.
e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan.
f. Merencanakan seorang ahli/ pendamping guru dari tempat kerja untuk
membantu jika diperlukan.
g. Melaksanakan penilaian.
h. Menjelaskan kepada siswa mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan
merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya
i. Mencatat pencapaian kemajuan siswa.
D. Tujuan Akhir
Spesifikasi kinerja yang diharapkan dikuasai siswa setelah mengikuti seluruh
kegiatan belajar adalah siswa dapat :
1. Membuat pernyataan dan bukan pernyataan serta negasinya.
2. Menelaah dan menganalisa kalimat konjungsi dan menilai kebenaran dari
kalimat tersebut.
3. Menelaah dan menganalisa kalimat disjungsi dan menilai kebenaran dari
kalimat tersebut.
4. Menelaah dan menganalisa kalimat Implikasi dan menilai kebenaran dari
kalimat tersebut.
5. Menelaah dan menganalisa kalimat Biimplikasi dan menilai kebenaran dari
kalimat tersebut.
6. Menelaah dan menganalisa Negasi dari konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan
Biimplikasi serta menilai kebenaran dari kalimat tersebut.
7. Membuat tabel kebenaran untuk Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan
Biimplikasi.
Berdasarkan spesifikasi kinerja diatas, kemungkinan aplikasi konsep Logika
secara nyata di dunia kerja diantaranya sebagai alat untuk mengukur penalaran,
serta pengambil keputusan secara cermat , teliti dan benar.
E. Kompetensi : Menerapkan Konsep Logika Matematika
SUB
KOMPETENSI (J)
KRITERIA
KINERJA
LINGKUP
MATERI
BELAJAR
MATERI POKOK PEMBELAJARAN
SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN
1. Mendiskripsikan
Pernyataan dan
Negasinya
• Pernyataan
dibedakan dari
bukan pernyataan
• Pernyataan
dan bukan
pernyataan
• Kritis dan logis
dalam menarik
kesimpulan
• Kalimat berarti dan
tidak berarti
• Kalimat terbuka
• pernyataan
• mengambil
keputusan dengan
cepat
2. Menyelesaikan
mendeskripsikan
ingkaran,
konjunbgsi,
disjungsi,
implikasi,
biimplikasi dan
ingkarannya
• Konjungsi,
disjungsi,
implikasi, dan
biimplikasi
ditentukan nilai
kebenarannya
• Ingkaran,
konjungsi,
disjungsi,
implikasi,
biimplikasi
dan
ingkarannya
• Ingkaran
• Konjungsi
• Disjungsi
• Implikasi
• Biimplikasi
• Ingkaran kalimat
majemuk
3. mendeskripsikan
invers, konvers,
dan kontraposisi
• invers, konvers,
dan kontraposisi
ditentukan dari
implikasi
• invers,
konvers, dan
kontraposisi
dari implikasi
Invers
Konvers
Kontraposisi
4. menerapkan
modus ponens,
modus tollens,
dan prinsip
silogisme dalam
menarik
kesimpulan
• modus ponens,
modus tollens, dan
silogisme
digunakan dalam
menarik
kesimpulan
• penarikan
kesimpulan
Penarikan
kesimpulan:
-Modus ponens
-Modus tollens
-silogisme
F. Cek Kemampuan
NO.
PERTANYAAN
YA
TIDAK
1. Apakah Anda pernah mendengar istilah “logika
matematika”
2. Tahukah Anda pengertian pernyataan dan bukan
pernyataan
3. Dapatkah Anda membedakan antara pernyataan dan
bukan pernyataan
4. Dapatkah Anda menentukan ingkaran sebuh pernyataan
5. Dapatkah Anda mendeskripsikan pernyataan-pernyataan
majemuk beserta ingkarannya
4. Dapatkah Anda mendeskripsikan Invers, Konvers, dan
Kontraposisi
5. Dapatkah Anda menarik kesimpulan dalam sebuh argumen
dengan menggunakan prinsip logika matematika
Apabila Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas,
pelajarilah materi tersebut pada modul ini. Apabila Anda menjawab
“YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan
mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul
ini.
BAB II
PEMELAJARAN
A. Rancangan belajar Siswa
Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan bahwa modul ini hanya
sebagian dari sumber belajar yang dapat anda pelajari untuk menguasai
kompetensi Konsep Logika Matematikauntuk mengembangkan kompetensi anda
dalam substansi non instruksional, anda perlu melatih diri. Aktifitas yang
dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi matematika juga
mengembangkan kompetensi substansi non instruksional. Untuk itu maka dalam
menggunakan modul ini anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah
dirancang dalam modul ini.
1. Buatlah rencana belajar anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang
telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Konsep Logika
Matematika, dengan menggunakan format sebagai berikut :
NO.
KEGIATAN
PENCAPAIAN ALASAN
PERUBAHAN BILA
DIPERLUKAN
PARAF
TGL JAM TEMPAT SISWA GURU
Mengetahui, Cianjur, .............................. 2006
Guru Pembimbing Siswa
(.............................) (.............................)
2. Rumuskan hasil belajar anda sesuai standar bukti belajar yang telah
ditetapkan.
a. Untuk penguasaan pengetahuan, anda dapat membuat suatu ringkasan
menurut pengertian anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan
dengan kompetensi yang pernah anda pelajari. Selain ringkasan anda
juga dapat melengkapi dengan kliping terhadap informasi yang relevan
dengan kompetensi yang sedang anda pelajari.
b. Tahapan pekerjaan dapat anda tuliskan dalam diagram alir yang
dilengkapi dengan penjelasan.
c. Produk hasil praktik kegiatan ini produksi dapat anda kumpulkan berupa
contoh dan bentuk fisualisasinya.
d. Setiap tahapan proses akan diakhiri, lakukanlah diskusi dengan guru
pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal
yang harus dibetulkan maka anda harus melaksanakan saran guru
pembimbing anda.
A. KEGIATAN BELAJAR
1. Kegiatan Belajar 1 (Pernyataan dan Kalimat Terbuka)
a. Tujuan Kegiatan Belajar 1
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:
1) Membedakan kalimat berarti dan kalimat tidak berarti
2) Membedakan pernyataan dan bukan pernyataan
3) Membedakan pernyataan benar dan pernyataan salah
4) Membedakan kalimat terbuka dan pernyataan
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1
1) Apakah logika itu?
Perhatikan ilustrasi berikut ini!
Anda adalah seorang siswa SMK yang baru saja lulus sekolah dan
langsung memulai berwirausaha dengan berdagang, yang sebagian
modalnya Anda pinjam dari seorang teman. Anda berjanji, “Bila saya
tidak rugi, saya akan melunasi semua utang saya sesegera mungkin”.
Keadaan berikut ini, yang manakah Anda dapat dikatakan ingkar janji?
i) Anda tidak rugi dan Anda melunasi utang dengan segera
ii) Anda tidak rugi dan Anda tidak melunasi utang dengan segera
iii) Anda melunasi utang padahal anda rugi
iv) Anda melunasi utang dan Anda tidak rugi
Jelas bahwa tanpa logika, kita sering melakukan kesalahan dalam
penarikan kesimpulan.
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita di hadapkan pada suatu
keadaan yang mengharuskan kita untuk membuat suatu keputusan. Agar
keputusan kita itu baik dan benar, maka terlebih dahulu kita harus dapat
menarik kesimpulan-kesimpulan dari keadaan yang kita hadapi itu, dan
untuk dapat menarik kesimpulan yang tepat diperlukan kemampuan
menalar yang baik.
Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan
yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan-aturan tertentu.
Lalu apa kaitannya dengan logika?
Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara
bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinya
kata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu
pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan
argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip
untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen,
khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode
matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk
menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan seharihari.
2) Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan
Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian
kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan
bahasa yang mengandung arti.
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi
tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi,
kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang
dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut!
1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Frodo mencintai 1
4. Asep adalah bilangan ganjil
Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai
salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan
4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.
Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!
1. Rapikan tempat tidurmu!
2. Apakah hari ini akan hujan?
3. Indah benar lukisan ini!
4. Berapa orang yang datang?
Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan
pernyataan.
Catatan:
Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan
sebagainya.
3) Kalimat Terbuka
Perhatikan contoh berikut ini!
1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya
2. seseorang memakai kacamata
3. 2x + 8y ≥ 0
4. x + 2 = 8
Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat
yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya
ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti
dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan
menjadi sebuah pernyataan.
Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang
belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah
lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta
pembicaraan.
Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi
pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.
Contoh:
x + 2 = 8
x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x∈R
adalah selesaian.
Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka
dapat kita rumuskan sebagai berikut:
Rangkaian
kata
Bukan kalimat (bukan
Kalimat:
Kalimat terbuka
kalimat deklaratif
(pernyataan,
proposisi)
kalimat perintah
kalimat tanya
kalimat pengharapan
1
bukan
pernyataan
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 1
• Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah.
tetapi tidak sekaligus bernilai benar dan salah. Sedangkan kalimat
yang tidak dapat ditentukan nilai benar atau salah disebut bukan
pernyataan.
• Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel (peubah)
sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat terbuka
ini bisa menjadi pernyataan jika variabelnya diganti dengan konstanta
dalam semesta pembicaraan.
d. Tugas Kegiatan Belajar 1
Diskusikan soal-soal LKS 1 dengan anggota kelompok anda, kemudian
presentasikan hasilnya, sesuai dengan yang ditugaskan oleh guru.
e. Tes Formatif 1 (waktu 15 menit)
Di antara kalimat-kalimat di bawah ini, manakah yang merupakan
pernyataan? Jika pernyataan, tentukan benar atau salah!
1. Semua bilangan irasional adalah bilangan real
2. Gunung membeli hijau daun
3. Saya adalah siswa SMK
4.
6
6
6
=
5. Apakah x2 − 25 = ( x −5)( x + 5) ?
6. Ada daun yang tidak berwarna hijau
7. Buktikan 8 + 32 = 8 2 !
8. 12345 habis dibagi 3 dan 5
9. 5x + 2 =15 ; x∈R
10. log 2 adalah bilangan real, tetapi bukan bilangan rasional
f. Kunci Jawaban Tes Formatif 1
1. Pernyataan. Benar
2. Bukan pernyataan (kalimat tidak berarti)
3. Bukan pernyataan (kalimat terbuka)
4. Pernyataan. Benar
5. Bukan pernyataan (kalimat pertanyaan)
6. Pernyataan. Benar
7. Bukan pernyataan (kalimat perintah)
8. Pernyataan. Benar
9. Bukan pernyataan (kalimat terbuka)
10. Pernyataan. Salah
g. Lembar Kerja Siswa 1 (waktu 15 menit)
1. Sebutkan pengertian pernyataan dan bukan pernyataan
2. Buatlah contoh pernyataan dan bukan pernyataan masing-masing 3
buah serta nilai kebenarannya.
3. Sebutkan pengertian kalimat terbuka, cari perbedaannya dengan
dengan pernyataan
4. Buatlah contoh kalimat terbuka minimal 3 buah
2. Kegiatan Belajar 2 (Negasi, Pernyataan Majemuk dan Negasinya )
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar 2, Anda diharapkan :
1. Memiliki pemahaman tentang Negasi suatu pernyataan
2. Dapat menjelaskan dan membedakan pengertian Konjungsi,
Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi.
3. Mengetahui nilai kebenaran kalimat Konjungsi, Disjungsi, Implikasi
dan Biimplikasi.
4. Dapat membuat tabel kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan
Biimplikasi.
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2
Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu
pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasioperasi
yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective
logic):
ı : Merupakan lambang operasi untuk negasi
∧ : Merupakan lambang operasi untuk konjungsi
∨ : Merupakan lambang operasi untuk disjungsi
→ : Merupakan lambang operasi untuk implikasi
↔ : Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi
1) Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan
Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat
sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu.
“ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran
menggunakan operasi uner (monar) “ ı ” atau “¬”.
Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya ı p salah, dan jika
sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya ı p benar.
Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
p ı p
S
B = benar
S = salah
Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta
menentukan nilai kebenarannya!
1. p : kayu memuai bila dipanaskan (B)
ı p : kayu tidak memuai nila dipanaskan (S)
2. r : 3 bilangan positif (B)
ı r : (cara mengingkar seperti ini salah)
3 bilangan negatif
(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)
2) Pernyataan Majemuk
Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan
merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung
logika.
Contoh: p ∧ q disebut konjungsi
p ∨ q disebut disjungsi
p→q disebut Implikasi
p↔q disebut biimplikasi
3) Konjungsi ( p ∧ q )
Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua
pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua
pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
Dengan tabel kebenaran
p q p ∧ q
B B B
B S S
S B S
S S S
Contoh:
1. p : 5 bilangan prima (B)
q : 5 bilangan ganjil (B)
p ∧ q : 5 bilangan prima dan ganjil (B)
2. p : ( )2
−2 = −4 (B)
q : −2 = −2 (B)
p ∧ q : ( )2
−2 = −4 dan −2 = −2 (B)
4) Disjungsi/ Alternasi ( p ∨ q )
Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah
satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua
pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi
seperti ini disebut disjungsi inklusif)
Dengan tabel kebenaran
p q p ∨ q
B B B
B S B
S B B
S S S
Contoh:
1. p : 1 akar persamaan 2 x =1 (B)
q : -1 akar persamaan 2 x =1 (B)
p ∨ q : 1 atau -1 akar persamaan 2 x =1 (B)
2. p : Bogor di Jawa barat (B)
q : Bogor itu kota propinsi (S)
p ∨ q : Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)
5) Implikasi/ Kondisional ( p→q )
p→q boleh dibaca: p maka q
q hanya jika p
p syarat perlu untuk q
q syarat cukup untuk p
p disebut anteseden atau hipotesis
q disebut konsekuen atau konklusi
Implikasi p→q bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau
anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika
antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.
Dengan tabel kebenaran
p q p→q
B B B
B S S
S B B
S S B
Contoh:
1. Jika 2× 2 = 4 , maka 4 : 2 = 2 (B)
(B) (B)
2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang (B)
(S) (S)
6) Biimplikasi atau Bikondisional ( p↔q )
p↔q boleh dibaca: p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”)
jika p maka q, dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup untuk q
q syarat perlu dan cukup untuk p
biimplikasi p↔q bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen
kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika
tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.
Dengan tabel kebenaran
p q p↔q
B B B
B S S
S B S
S S B
Contoh:
1. 2× 2 = 4 jika dan hanya jika 4 : 2 = 2 (B)
(B) (B)
2. 2×4 = 8 jika dan hanya jika 8 : 4 = 0 (S)
(B) (S)
c. Rangkuman :
• Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya ı p salah, dan jika
sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya ı p benar.
• Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua
pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua
pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
• Disjungsi (Inklusif) dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal
salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua
pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
• Implikasi p→q bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau
anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika
antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.
• Biimplikasi p↔q bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen keduaduanya
bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak
demikian maka biimplikasi bernilai salah.
d. Tugas Kegiatan Belajar 2
Kerjakan dan diskusikan soal-soal Lembar Kerja 2 secara berkelompok,
kemudian presentasikan hasilnya.
e. Tes Formatif 2 (waktu 45 menit)
1. Benarkah cara mengingkar berikut ini? Jika salah, tunjukkan bagimana
seharusnya!
a) p : 8 +1≥10
ı p : 8 +1≤10
b) p : 2 5 = 25
ı p : 2 5 ≠ 25
c) p : (−2) adalah bilangan negatif
ı p : (−2)adalah bilangan positif
2. Tentukanlah nilai kebenaran dari tiap-tiap konjungsi berikut ini!
Balok dan kubus masing-masing mempunyai 6 buah sisi
5 akar dari persamaan 2 x = 5 dan 5 bilangan real
Sayuran banyak didapat di daerah dingin dan daerah dingin umumnya
berada di dataran tinggi.
3. Buatlah 3 buah pernyataan disjungsi inklusif!
4. Tentukanlah nilai kebenaran dari pernyataan di bawah ini!
a) Jika 10×10 =100 , maka 3×3 = 33
b) Jika India di Afrika, maka Mesir di Asia
c) Jika dalam persamaan kuadrat diketahui D < 0 , maka akar-akarnya
juga nyata
5. Tentukanlah nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a) 3 2 = 8 jhj 2× 2×2 = 8
b) Bumi mengelilingi matahari jhj matahari berputar pada porosnya
c) 5 bilangan bulat jhj -5 bukan bilangan bulat
f. Kunci Jawaban Tes Formatif 2
1) Nilai kebenarannya:
a) Salah, seharusnya ı p : 8 +1<10
b) Benar
c) Salah, seharusnya ı p : (−2)adalah bukan bilangan negatif
2) Nilai kebenarannya:
a) Benar
b) Salah
c) Benar
3) Contoh pernyataan disjungsi inklusif:
a) Harimau binatang b uas atau kulitnya belang
b) 5 bilangan prima atau ganjil
c) Kera binatang buas atau binatang menyusui
4) Nilai Kebenarannya:
a) Salah
b) Benar
c) Salah
5) Nilai kebenarannya:
a) Benar
b) Benar
c) Salah
g. Lembar Kerja Siswa 2
1) Apakah pernyataan-pernyataan berikut merupakan konjungsi?
a) Hasan dan Husen Anak Kembar
b) Lili dan Lilo siswa SMK
c) Rara dan Rere kakak beradik
2) Tentukan nilai x agar kalimat-kalimat berikut menjadi benar!
a)
1
1
2
x = x − atau 2 + 2 = 4
b) 5x − 2( x + 4) = 0 atau 2 + 2 = 5
c) Jika 3x = 9 , maka 2 x −9 = 0
3) Lengkapilah tabel kebenaran di bawah ini!
a)
p q p→q q→ p p↔q ( p→q) ∧(q→ p)
B B
B S
S B
S S
Apa yang dapat Anda simpulkan dari jawaban pada kolom ke lima dan
keenam dari tabel di atas?
b)
p q ı p ı q p∧ ı q ı p ∨ q ( p∧ ı q)↔(ı p ∨ q)
B B
B S
S B
S S
3. Kegiatan Belajar 3 (Invers, Konvers dan Kontraposisi)
a. Tujuan Kegiatan Belajar 3
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :
1) Memahami pengertian invers, konvers, dan kontraposisi sebuah
implikasi
2) Dapat menunjukkan ekivalensi antara pernyataan implikasi, konvers,
invers, dan kontraposisi
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataanpernyataan
baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.
Implikasi : p→q
Inversnya : ı p→ı q
Konversnya : q→ p
Kontraposisinya : ı q→ı p
Contoh:
Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas
Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang
buas
Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring
Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak
bertaring
Dengan tabel kebenaran:
p q ı p ı q Implikasi
p→q
Invers
ı p→ı q
Konvers
q→ p
Kontraposisi
ı q→ı p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran
sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat
kita katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers
setara dengan konvers. Bisa kita tulis:
p→q ≡ı q→ı p
ı p→ı q ≡ q→ p
Catatan:
“ ≡” artinya ekivalen
Contoh:
Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar
mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”
Jawab:
Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah
menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia
tidak mencuri.”
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 3
• Jika diketahui implikasi p→q , maka:
Invers : ı p→ı q
Konvers : q→ p
Kontraposisi : ı q→ı p
• p→q ≡ı q→ı p
• ı p→ı q ≡ q→ p
d. Tugas Kegiatan Belajar 3
Diskusikan soal-soal pada LKS 3 dengan anggota kelompok Anda.
Kemudian presentasikan hasilnya sesuai dengan yang ditugaskan oleh
guru
e. Tes Formatif 3 (waktu 15 menit)
1) Tentukanlah konvers dari pernyataan berikut:
a) Jika Beijing di RRC, maka Tokyo di Jepang
b) Jika SMK mempunyai jurusan RPL, maka SMK mempunyai
laboratorium komputer
2) Tentukanlah invers dari pernyataan berikut:
a) Jika segitiga sama kaki, maka ketiga sudutnya sama
b) Jika x = 3, maka 2 x = 9
3) Tentukanlah kontraposisi dari pernyataan berikut:
a) Jika a3 : a3 = a0 , maka 0 a =1
b) Jika semua jeruk manis, maka jeruk ini harus manis
f. Kunci Jawaban Tes Formatif 3
1) Konvers dari pernyataan-pernyataan itu adalah:
a) Jika Tokyo di Jepang, maka Beijing di RRC
b) Jika SMK mempunyai laboratorium komputer, maka SMK
mempunyai jurusan RPL
2) Invers dari pernyataan-pernyataan itu adalah:
a) Jika bukan segitiga sama kaki, maka ketiga sudutnya tidak sama
b) Jika x ≠ 3, maka 2 x ≠ 9
3) Tentukanlah kontraposisi dari pernyataan berikut:
a) Jika 0 a ≠1, maka 3 3 0 a : a ≠ a
b) Jika jeruk ini tidak manis, maka tidak semua jeruk manis
g. Lembar Kerja Siswa 3
Dari kejadian sehari-hari yang pernah Anda alami, buatlah 3 pernyataanpernyataan
implikasi . kemudian carilah pernyataan yang ekivalen
dengan pernyataa-pernyataan itu!
4. Kegiatan Belajar 4 (Penarikan Kesimpulan/ Inferensi)
a. Tujuan Kegiatan Belajar 4
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:
1) Menjelaskan cara menarik kesimpulan dengan menggunakan prinsip
modus ponens, modus tollens, dan silogisma
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4
1) Pengertian Argumen
Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!
1. Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)
Harga barang naik (premis 2)
Jadi permintaan barang turun (konklusi)
2. Jika ∠A = 900 , maka sin A =1 (premis 1)
0 ∠A = 90 (premis 2)
Jadi sin A =1 (konklusi)
Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:
a) Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang
mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan
kesimpulan”
b) Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis
(pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah
konklusi (kesimpulan).
2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma
Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu
modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.
1. Modus ponens
Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.
Bentuknya sebagai berikut:
p→q (premis 1) berupa implikasi
p (premis 2) berupa anteseden
--------
∴q (konklusi)
Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui
tabel kebenaran.
Argumentasi ini sah karena untuk premis
p→q dan p benar, konklusi q juga benar.
2.
Contoh:
Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun
Harga barang naik
Jadi permintaan barang turun
3. Modus tollens
Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.
Bentuknya sebagai berikut:
p→q (premis 1) berupa implikasi
ı q (premis 2) berupa negasi dari konsekuen
----------
∴ı p (konklusi)
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:
p q p→q
B B B
B S S
S B B
S S B
Suatu argumentasi adalah sah jika pada setiap baris di mana
premis-premisnya benar, pada baris tersebut konklusinya juga
benar.
Argumen ini sah, karena untuk
premis p→q dan ı q benar,
konklusi ı p juga benar.
Contoh:
Persamaan 2 ax + 2x +1 = 0 , D > 0 , maka 1 x dan 2 x berlainan
1 x dan 2 x tidak berlainan
Jadi persamaan 2 ax + 2x +1 = 0 , D >/ 0
4. Silogisma
Bentuknya sebagai berikut:
p→q (premis 1) berupa implikasi
q→r (premis 2) berupa implikasi
----------
∴p→r (konklusi)
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:
Argumen ini sah,
karena untuk premis
p→q dan q→r
benar, konklusi
p→r juga benar.
p q ı p ı q p→q
B B S S B
B S S B S
S B B S B
S S B B B
p q r p→q q→r p→r
B B B B B B
B B S B S S
B S B S B B
B S S S B S
S B B B B B
S B S B S B
S S B B B B
S S S B B B
Contoh:
Jika 5 2 5 2 2 : 2 = 2 − , maka 25 : 22 = 23
Jika 5 2 3 2 : 2 = 2 , maka 5 2 2 : 2 = 8
Jadi jika 5 2 5 2 2 : 2 2 − = , maka 5 2 2 : 2 = 8
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 3
• Modus ponens, modus tollens, dan silogisma adalah contoh
argumentasi yang sah, yang kebenarannya dapat dan telah
dibuktikan.
• Modus ponens bentuknya:
p→q (premis 1) berupa implikasi
p (premis 2) berupa anteseden
--------
∴q (konklusi)
• Modus tollens bentuknya:
p→q (premis 1) berupa implikasi
ı q (premis 2) berupa negasi dari konsekuen
----------
∴ı p (konklusi)
• Silogisma bentuknya:
p→q (premis 1) berupa implikasi
q→r (premis 2) berupa implikasi
----------
∴p→r (konklusi)
Catatan:
1. Untuk mengetahui bahwa suatu argumentasi itu sah, kita perlu melihat
berbentuk apa argumen itu, apakah bernemtuk modus ponens, modus
tollens, atau berbentuk yang lainnyayang bila dikaji kebenarannya
sesuai dengan syarat keabsahan, apakah sah atau tidak.
2. Untuk menegetahui suatu argumentasi itu benar, kita perlu meninjau
apakah argumentasi itu sah dan apakah pernyataan-pernyataan dan
premis serta konklusinya benar. Jika salah satu atau keduanya tidak
dipenuhi, maka argumentasi itu salah.
d. Tugas Kegiatan Belajar 4
Diskusikan soal-soal pada LKS 4 dengan anggota kelompok Anda.
Kemudian presentasikan hasilnya sesuai dengan yang ditugaskan oleh
guru
e. Tes Formatif 3 (waktu 15 menit)
1) Tentukan sah atau tidakkah argumen beriku!
a) Jika pupuk itu cocok, maka tanaman itu tumbuh subur
Pupuk itu cocok
∴ tanaman itu tumbuh subur
b) Jika pupuk itu cocok, maka tanaman itu tumbuh subur
Pupuk tidak cocok
∴ tanaman itu tidak tumbuh subur
c) Jika pupuk itu cocok, maka tanaman itu tumbuh subur
Tanaman itu tumbuh subur
∴ pupuk itu cocok
2) Tentukan sah atau tidakkah argumen beriku! (Jika perlu buatlah tabel
kebenarannya)
a) p ∨ q
ı p
_____
∴q
b) p→q
ı p
_____
∴ı q
c) p
q
______
∴p ∧ q
f. Kunci Jawaban Tes Formatif 3
1) Argumen itu:
a) Sah menurut modus ponens
b) Tidak sah
c) Tidak sah
2) Argumen itu:
a) Sah
b) Tidak sah
c) Sah
Catatan: tunjukkan pembuktian melalui tabel kebenarannya!
g. Lembar Kerja Siswa 3
Carilah contoh beberapa kasus pengambilan kesimpulan yang benar dan
yang salah. Contoh kasus bisa diambil dari berbagai sumber seperti surat
kabar atau majalah, pernyataan-pernyataan langsung dari media televisi,
atau dari cerita fiktif kisah detektif (disarankan untuk membaca buku
novel atau cerita serial detektif “Sherlock Holmes” atau detektif
“Kindaichi”)
BAB III
EVALUASI
A. EVALUASI KOMPETENSI (WAKTU : 2 × 45 MENIT)
e. Evaluasi :
1) Tulislah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut!
a) Perseroan terbatas adalah bentuk perusahaan
b) Pengukuran sudut selalu dengan satuan derajat
c) Air benda cair
d) 5 +1< 0
e) 111 =11
2) Diketahui:
p : Malam ini langit berbintang
q : Malam ini langit berawan
Bentuklah kalimat majemuk:
a) ı p ∨ q
b) p∧ ı q
c) ı p∨ ı q
d) ı p→q
e) p→ı q
3) Tentukan nilai x agar Implikasi berikut bernilai benar!
a) Jika 2x −5 = 7 maka 13 bilangan Ganjil
b) 5 Bilangan Irasional maka 2 x − 4x + 4 = 0
c) Jika 7 elemen bilangan genap maka 2 x − 2x −3 = 0
4) Jika p pernyataan bernilai salah dan q pernyatan bernilai benar, tentukan
nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut!
a) p→ı q
b) ı p→q
c) ı p→ı q
d) ı ( p→ı q)
e) ı (ı p→q)
5) Dengan menggunakan tabel kebenaran, tentukan nilai kebenaran dari
pernyataan-pernyataan berikut!
a) ( p→q)∧ ı p
b) ( p ∧( p→q))→q
c) (ı p ∨ q)→( p→q)
d) ( p→q) ∧( p∧ ı q)
e) p ∧ q→ı (ı p∨ ı q)
6) Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari pernyataan-pernyataan
berikut!
a) Dalam ı ABC berlaku 2 2 2 c = a + b hanya jika 0 c = 90
b) Jika Anda bersyahadat, maka Anda muslim
c) Jika Anda muslimah, maka Anda berjilbab dan berkerudung
d) Jika harga BBM dan naik, maka rakyat miskin bertambah
e) Jika malam ini langit berbintang, maka besok pagi cuaca cerah
7) Tentukan sah tidaknya argumen berikut!
a) Jika saya banyak membaca buku, maka saya akan tahu banayk hal
Saya tidak tahu banyak hal
∴ Saya tidak banyak membaca
b) Jika saat ini musim hujan, maka harga beras naik
Harga beras saat ini tidak naik
∴ Saat ini bukan musim hujan
c) Murid malas selalu mendapat nilai buruk
Murid yang nilai ulangannya buruk tidak naik kelas
∴ Murid yang malas tidak naik kelas
B. KUNCI JAWABAN EVALUASI KOMPETENSI
1) Negasi dari pernyataan-pernyataan itu adalah:
a) Perseroan terbatas adalah bukan bentuk perusahaan
b) Pengukuran sudut tidak selalu dengan satuan derajat
c) Air bukan benda cair
d) 5 +1≥ 0
e) 111 ≠ 11
2) Kalimat majemuk yang dimaksud adalah:
p : Malam ini langit berbintang
q : Malam ini langit berawan
a) Malam ini langit tidak berbintang atau berawan
b) Malam ini langit berbintang dan tidak berawan
c) Malam ini langit tidak berbintang atau tidak berawan
d) Jika malam ini langit tidak berbintang maka langit berawan
e) Jika malam ini langit berbintang langit tidak berawan
3) Nilai x agar Implikasi yang dimaksud bernilai benar adalah:
a) x = 6 atau x ≠ 6
b) x = 2
c) {x = −1 atau x = 3} atau {x ≠ −1 dan x ≠ 3}
4) Jika p pernyataan bernilai salah dan q pernyatan bernilai benar, maka nilai
kebenaran pernyataan-pernyataan yang dimaksud adalah:
a) Benar
b) Benar
c) Salah
d) Salah
e) Salah
5) Nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan iru adalah:
a) SSBB
b) BBBB
c) BBBB
d) BSSB
e) SBBB
6) Invers, konvers, dan kontraposisi dari pernyataan-pernyataan itu adalah:
a) Invers: “Jika 0 c ≠ 90 , maka dalam ı ABC tidak berlaku 2 2 2 c = a + b ”
konvers: “Jika dalam ı ABC berlaku 2 2 2 c = a + b maka 0 c = 90 ”
kontraposisi: “Jika dalam ı ABC tidak berlaku 2 2 2 c = a + b , maka
0 c ≠ 90 ”
b) Invers: “Jika Anda tidak bersyahadat, maka Anda bukan muslim”
konvers: “Jika Anda muslim, maka Anda bersyahadat”
kontraposisi: “Jika Anda bukan muslim, maka Anda tidak
bersyahadat”
c) Invers: “Jika Anda bukan muslimah, maka Anda tidak berjilbab dan
berkerudung”
konvers: “Jika Anda berjilbab dan berkerudung, maka Anda
muslimah”
kontraposisi: “Jika Anda tidak berjilbab dan berkerudung, maka Anda
bukan muslimah”
d) Invers: “Jika harga BBM tidak naik, maka rakyat miskin tidak
bertambah”
Konvers: “Jika rakyat miskin bertambah, maka harga BBM naik”
Kontraposisi: “Jika rakyat miskin tidak bertambah, maka harga BBM
tidak naik”
e) Invers: “Jika malam ini langit tidak berbintang, maka besok pagi
cuaca tidak cerah”
Konvers: “Jika besok pagi cuaca cerah, maka malam ini langit
berbintang”
Kontraposisi: “Jika besok pagi cuaca tidak cerah, maka malam ini
langit tidak berbintang”
7) Validitas (kesahihan) argumennya:
a) Sah
b) Sah
c) Sah
BAB IV
PENUTUP
Sebagai tindak lanjut dari seluruh kegiatan belajar dalam modul Logika
Matematika ini, apabila hasil evaluasi terhadap penguasaan kompetensi
mencapai 75% atau lebih, maka siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya.
Tentu saja setelah memperoleh rekomendasi dari guru/pembimbing mata diklat
Matematika.
Namun, apabila siswa masih belum mencapai penguasaan kompetensi 75%
atau siswa dianggap belum kompeten, maka siswa harus mengulang evaluasi
tersebut. Tidak tertutup kemungkinan perlu diadakan penelusuran terhadap
penguasaan kompetensi dengan mengulang kembali tahap-tahap kegiatan
belajar yang belum dikuasai.
DAFTAR PUSTAKA
Irving M. Copi, 1978, Intoduction to Logic Sixth Edition, New York: Macmillan
Publishing Co., Inc.
Putra, 2004, Matematika SMA Kelas 1 Jilid 1B, Jakarta: PT Gramedia
Widiasarana Indonesia.
Sartono W, 2000, Matematika 2000 untuk SMU Jilid 3 Kelas I, Jakarta: Erlangga
Tim Penulis Matematika, 1995, Matematika SMU 1B Edisi Revisi, Bandung: PT
Remaja Rosdakarya.
Tim Penulis Matematika, 2004, Matematika Untuk SMK Kelas 1, Dinas
Pendidikan Propinsi Jawa Barat.
Yaya S. Kusuma, 1986, Logika Matematika Elementer, Bandung: Penerbit
Tarsito.
